Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=32，a_n+1-a_n=n（n∈N⁺），则$\frac{{a}_{n}}{n}$取最小值时n=8．

Answer 1

分析 通过a_n+1-a_n=n（n∈N⁺），利用累加法可知a_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n+32，进而$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$n+$\frac{32}{n}$+$\frac{1}{2}$，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1-a_n=n（n∈N⁺），
∴a_n-a_n-1=n-1，
a_n-1-a_n-2=n-2，
…
a₂-a₁=1，
累加可知：a_n-a₁=1+2+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$，
又∵a₁=32，
∴a_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+32=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n+32，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n+32}{n}$=$\frac{1}{2}$n+$\frac{32}{n}$+$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$n+$\frac{32}{n}$≥2•$\sqrt{\frac{1}{2}n•\frac{32}{n}}$=2•4=8，
当且仅当$\frac{1}{2}$n=$\frac{32}{n}$即n=8时取等号，
故答案为：8．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．