Question

【题目】已知函数，．

（1）若函数与的图象上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；

（2）设，已知在上存在两个极值点，，且，求证：（其中为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）将问题转化为在上有解的问题，令，利用导数可求得，进而求得的取值范围；

（2）要证，只需证，根据有两个极值点可得到，设，则只需证，令，利用导数可求得，进而证得结论.

（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点，

的图像与函数的图像有交点，

即在上有解，即在上有解，

设，则，

当时，为减函数；当时，为增函数，

，，即实数的取值范围为.

（2），．

在上存在两个极值点，且，

，则且，

，即，

设，则，

要证，即证，

只需证，即证，

设，

则，

在上单调递增，，即，

.