题目内容
【题目】已知椭圆:
的长轴长为6,且椭圆
与圆
:
的公共弦长为
.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点作斜率为
的直线
与椭圆
交于两点
,
,试判断在
轴上是否存在点
,使得
为以
为底边的等腰三角形.若存在,求出点
的横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)由长轴长可得值,公共弦长恰为圆
直径,可知椭圆经过点
,利用待定系数法可得椭圆
方程;(2)可令直线
的解析式为
,设
,
的中点为
,将直线方程与椭圆方程联立,消去
,利用根与系数的关系可得
,由等腰三角形中
,可得
,得出
中
.由此可得
点的横坐标
的范围.
试题解析:(1)由题意可得,所以
.由椭圆
与圆
:
的公共弦长为
,恰为圆
的直径,可得椭圆
经过点
,所以
,解得
.所以椭圆
的方程为
.
(2)直线的解析式为
,设
,
的中点为
.假设存在点
,使得
为以
为底边的等腰三角形,则
.由
得
,故
,所以
,
.因为
,所以
,即
,所以
.当
时,
,所以
;当
时,
,所以
.
综上所述,在轴上存在满足题目条件的点
,且点
的横坐标的取值范围为
.
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