题目内容

已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,则棱锥S—ABC的体积为(     )
A.B.C.D.1
C

试题分析:球心为点O,作AB中点D,连接OD,CD,说明SC是球的直径,利用余弦定理,三角形的面积公式求出S△SCD,和棱锥的高AB,即可求出棱锥的体积。
设球心为点O,作AB中点D,连接OD,CD 因为线段SC是球的直径,所以它也是大圆的直径,则易得:∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中,SC=4,∠ASC="30°" 得:AC=2,SA=2
又在Rt△SBC中,SC=4,∠BSC="30°" 得:BC=2,SB=2则:SA=SB,AC=BC
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中,SD⊥AB且SD=
在等腰三角形CAB中,CD⊥AB且CD=
又SD交CD于点D 所以:AB⊥平面SCD 即:棱锥S-ABC的体积:V=AB•S△SCD
因为:SD=,CD=,SC="4" 所以由余弦定理得:cos∠SDC=(SD2+CD2-SC2
则:sin∠SDC=
由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD•CD•sin∠SDC="=3"
所以:棱锥S-ABC的体积:V=AB•S△SCD=,故选C
点评:本题是中档题,考查球的内接棱锥的体积的求法,考查空间想象能力,计算能力,有难度的题目,常考题型.
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