Question

15．已知集合$A=\{x|\frac{2x-3a-1}{x-2a-2}＜1，a＞-3\}$，集合B={x|2cos2x+1≥0}
（Ⅰ）当a=-2时，求A∩B；
（Ⅱ）若$A∩B=[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件化简集合A，可得A=（a-1，2a+2），再根据$B=\{x|kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$，结合a=-2，求得A∩B．
（Ⅱ）根据A=（a-1，2a+2），$B=\{x|kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$，$A∩B=[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$，考查集合端点间的大小关系求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{2x-3a-1}{x-2a-2}＜1⇒\frac{2x-3a-1}{x-2a-2}-1＜0⇒\frac{x-（a-1）}{x-（2a+2）}＜0$．
∵a＞-3，∴2a+2-（a-1）=a+3＞0，∴A=（a-1，2a+2）．
∴$B=\{x|kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$，
当a=-2时，A=（-3，-2），∴$A∩B=（-3，-\frac{2π}{3}]$．
（Ⅱ）∵$A∩B=[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$，A=（a-1，2a+2），$B=\{x|kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2π}{3}≤a-1＜-\frac{π}{3}\\ \frac{π}{3}＜2a+2≤\frac{2π}{3}\end{array}\right.⇒a∈（\frac{π}{6}-1.1-\frac{π}{3}）$．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，余弦函数的单调性，交集以及其运算，属于中档题．