Question

10．0＜a＜1，函数$f（x）={log_a}（{a^{2x}}-{a^x}-1）$，则f（x）＞0的x取值范围是（　　）

• A． （-∞，log_a2）
• B． （log_a2，+∞）
• C． （-∞，${log_a}\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$）
• D． （log_a2，log_a$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$）

Answer 1

分析 由题意可得0＜a^2x-a^x-1＜1，然后求解指数不等式组得答案．

解答 解：∵0＜a＜1，
∴由$f（x）={log_a}（{a^{2x}}-{a^x}-1）$＞0，知0＜a^2x-a^x-1＜1，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2x}-{a}^{x}-1＞0}\\{{a}^{2x}-{a}^{x}-1＜1}\end{array}\right.$，解得$\frac{\sqrt{5}+1}{2}＜{a}^{x}＜2$，
即${a}^{lo{g}_{a}\frac{\sqrt{5}+1}{2}}＜{a}^{x}＜{a}^{lo{g}_{a}2}$，
∴log_a2＜a＜log_a$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．
∴f（x）＞0的x取值范围是（log_a2，log_a$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$）．
故选：D．

点评 本题考查复合函数的单调性，考查指数不等式的解法，属中档题．