Question

【题目】已知函数f（x）=logm（m＞0且m≠1），

（I）判断f（x）的奇偶性并证明；

（II）若m=，判断f（x）在（3，+∞）的单调性（不用证明）；

（III）若0＜m＜1，是否存在β＞α>0，使f（x）在[α，β]的值域为[logmm（β-1），logm（α-1）]？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）是奇函数（Ⅱ）见解析（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）先求定义域，再判断与f（x）关系，最后根据奇偶性定义作判断与证明，（Ⅱ）根据单调性定义进行判断，（Ⅲ）先根据单调性确定方程组，转化为一元二次方程有两正根，再根据二次方程实根分布列方程，最后解不等式组得结果.

解：（Ⅰ）f（x）是奇函数；证明如下：

由解得x＜-3或x＞3，

所以f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．

∵=，

故f（x）为奇函数/

（Ⅱ）任取x1，x2∈（3，+∞）且x1＜x2，

=，

∵（x1-3）（x2+3）-（x1+3）（x2-3）＜0，∴（x1-3）（x2+3）＜（x1+3）（x2-3），

即，

当m=时，，即f（x1）＜f（x2）．

故f（x）在（3，+∞）上单调递减．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]上单调递减．

假设存在β＞α＞0，使f（x）在[α，β]的值域为[logmm（β-1），logm（α-1）]．

则有，∴．

所以α，β是方程的两正根，

整理得mx2+（2m-1）x-3m+3=0在（0，+∞）有2个不等根α和β．

令h（x）=mx2+（2m-1）x-3m+3，则h（x）在（0，+∞）有2个零点，

解得，

故m的取值范围为．