Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2a_n-S_n=1，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在数列{a_n}的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{b_n}，在a_n和a_n+1两项之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，求b₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-1可得当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-1，两式相减可得，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1a_n=2a_n-1，根据等比数列的通项公式；
（2）设a_n和a_n+1两项之间插入n个数后，可求得d_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{2n-1}{n+1}$，又（1+2+3+…+61）+61=1952，2013-1952=61，从而可求b₂₀₁₃的值；

解答 解：（1）∵2a_n-S_n=1，∴S_n=2a_n-1，S₁=2a₁-1，即a₁=1，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-1，
两式子相减可得，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1；
（2）设a_n和a_n+1两项之间插入n个数后，这n+2个数构成的等差数列的公差为d_n，则d_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{{2}^{n-1}}{n+1}$，
又（1+2+3+…+61）+61=1952，2013-1952=61，
∴b₂₀₁₂为以a₆₂为首项，以d₆₂为公差的第61项．
∴b₂₀₁₃=a₆₂+（61-1）•d₆₂=${2}^{61}+60×\frac{{2}^{61}}{63}$=$\frac{123}{63}×{2}^{61}$．

点评 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解答（2）的关键是对题意的理解，明确b₂₀₁₂为以a₆₂为首项，以d₆₂为公差的第61项是解答该题的关键，属中高档题．