Question

17．数列求极限：$\underset{lim}{n→∞}$n²（$\frac{k}{n}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$-…-$\frac{1}{n+k}$）=$\frac{k（k+1）}{2}$．

Answer 1

分析 $\underset{lim}{n→∞}$n²（$\frac{k}{n}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$-…-$\frac{1}{n+k}$）=$\underset{lim}{n→∞}$n²（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+k}$），即可得出结论．

解答 解：$\underset{lim}{n→∞}$n²（$\frac{k}{n}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$-…-$\frac{1}{n+k}$）=$\underset{lim}{n→∞}$n²（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+k}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$n²[$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{2}{n（n+2）}$+…+$\frac{k}{n（n+k）}$]=1+2+…+k=$\frac{k（k+1）}{2}$．
故答案为：$\frac{k（k+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的极限，考查学生方向键问题的能力，正确转化是关键．