Question

3．已知f（x）=x²+4x，g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx²-3bx+1，h（x）=g（x）+f（x），且函数h（x）在（0，h（0））处的切线与y=x+1平行，m，n是lnx-ax=0两根，求证：h（mn）＞h（e²）．

Answer 1

分析 求得h（x）的导数，求得在x=0处的切线的斜率，解方程可得b=1，进而得到h（x）的解析式和导数，判断在R上递增，要证h（mn）＞h（e²），只需证mn＞e²．设m＞n＞0，k（x）=lnx-ax，原不等式mn＞e²等价于lnm+lnn＞2?a（m+n）＞2，?$\frac{lnm-lnn}{m-n}$＞$\frac{2}{m+n}$?ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$，令$\frac{m}{n}$=t，则t＞1，ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$?lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，设l（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，（t＞1），运用导数判断单调性，即可得证．

解答 证明：h（x）=g（x）+f（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx²-3bx+1+x²+4x，
h′（x）=bx²-2bx-3b+2x+4，
函数h（x）在（0，h（0））处的切线斜率为k=4-3b=1，
解得b=1，
则有h（x）=$\frac{1}{3}$x³+x+1，h′（x）=x²+1＞0恒成立，
即有h（x）在R上递增，
要证h（mn）＞h（e²），只需证mn＞e²．
设m＞n＞0，k（x）=lnx-ax，
∵k（m）=0，k（n）=0，
∴lnm-am=0，lnn-an=0，
∴lnm-lnn=a（m-n），lnm+lnn=a（m+n）
原不等式mn＞e²等价于lnm+lnn＞2?a（m+n）＞2，
?$\frac{lnm-lnn}{m-n}$＞$\frac{2}{m+n}$?ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$，
令$\frac{m}{n}$=t，则t＞1，
∴ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$?lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
设l（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，（t＞1），
∴l′（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
∴函数l（t）在（1，+∞）是递增，
∴l（t）＞l（1）=0即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，
故不等式mn＞e²成立．
即有h（mn）＞h（e²）．

点评 本题主要考查了导数在求切线斜率和函数单调性中的应用，考查构造函数和运用单调性，属于难题．