Question

【题目】若数列{an}和{bn}的项数均为n，则将 定义为数列{an}和{bn}的距离．
（1）已知 ，bn=2n+1，n∈N* ， 求数列{an}和{bn}的距离dn ．
（2）记A为满足递推关系 的所有数列{an}的集合，数列{bn}和{cn}为A中的两个元素，且项数均为n．若b1=2，c1=3，数列{bn}和{cn}的距离大于2017，求n的最小值．
（3）若存在常数M＞0，对任意的n∈N* ， 恒有 则称数列{an}和{bn}的距离是有界的．若{an}与{an+1}的距离是有界的，求证： 与 的距离是有界的．

Answer 1

【答案】
（1）解：数列{an}和{bn}的前n项和分别为2n+1﹣2，n2+2n，

∴dn= =|2n+1﹣2﹣n2﹣2n|，

当n=1，21+1﹣2﹣12﹣2×1=﹣1

当n=2时，22+1﹣2﹣22﹣2×2=﹣2

当n=3时，23+1﹣2﹣32﹣2×3=﹣1

当n=4时，24+1﹣2﹣42﹣2×4=6，

∴dn= =|2n+1﹣2﹣n2﹣2n|=

（2）解：设a1=p，其中p≠0，且p≠±1，由 ，

∴a2= ，a3=﹣ ，a4= ，a5=p，

∴a1=a5，

因此A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，

数列{bn}中， ，

数列{cn}中， ，

∵

∴项数n越大，数列{bn}和{cn}的距离越大．

∵ ，

而 = ，|c1﹣b1|=1，|c2﹣b2|=1

因此，当n=3457时， ，当n=3458时， ，

故n的最小值为3458

（3）证明：∵{an}与{an+1}的距离是有界的，

∴存在正数M，对任意的n∈N*，有|an﹣an﹣1|+|an﹣1+an﹣2|+…+|a2﹣a1|≤M，

∵|an|=|an﹣an﹣1+an﹣1+an﹣2+…+a2﹣a1+a1|≤|an﹣an﹣1|+|an﹣1+an﹣2|+…+|a2﹣a1|+|a1|≤|M+|a1|，

记|≤|M+|a1|，则有|an+12﹣an2|=|（an+1﹣an）（an+1+an）|≤|an+1﹣an|（|an+1|+|an|）≤2K|an+1﹣an|，

∴|an+12﹣an2|+|an2﹣an﹣12|+…+|a22﹣a12|≤2KM，

故 与 的距离是有界的

【解析】（1）数列{an}和{bn}的前n项和分别为2n+1﹣2，n2+2n，根据新定义求出即可；（2）由数列的递推公式，即可求得a2 ， a3 ， a4 ， a5 ， 求得A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，求得数列{bn}和{cn}规律，可知随着项数n越大，数列{bn}和{cn}的距离越大，由 ，根据周期的定义，求得n的最大值；（3）根据新定义结合绝对值不等式，即可证明．