题目内容
【题目】设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab > cd,则
+
>
+
;(2)
+
>
+
是|a-b| < |c-d|的充要条件
(1)(I)若abcd,则
+
+
(2)(II)+
+
是|a-b|
|c-d|的充要条件
【答案】
(1)
见解答
(2)
见解答
【解析】(1)因为+
)2=a+b+2
,(
+
)2=c+d+2
由题设a+b=c+d,abcd,得(
+
)2
(
+
)2
因此+
+
。
(II)(i)若|a-b||c-d|,则(a-b)2
(c-d)2,即(a+b)2-4ab
(c+d)2-4cd,
因为a+b=c+d,所以abcd
由(I)得+
+
(ii)若+
+
, 则(
+
)2
(
+
)2,即a+b+2
c+d+2
,因为a+b=c+d,
所以abcd
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2
因此|a-b||c-d|,综上所述,
+
+
是|a-b|
|c-d|的充要条件
【考点精析】关于本题考查的不等式的证明,需要了解不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等才能得出正确答案.
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