题目内容
【题目】如图,在四边形中,
,以
为折痕把
折起,使点
到达点
的位置,且
.
(1)证明:平面
;
(2)若为
的中点,二面角
等于60°,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明;
(2)由题意知,,取
的中点
,连接
,易知
两两垂直,以
为原点建立如图所示的坐标系
,设
,平面
的一个法向量为
,求出向量
,则向量
所成角的余弦值的绝对值即为所求.
(1)证明:因为,
所以平面
,
又因为平面
,所以
.
又因为,
所以平面
.
(2)因为,
所以是二面角
的平面角,即
,
在中,
,
取的中点
,连接
,因为
,
所以,由(1)知,
平面
,
为
的中位线,
所以,即
两两垂直,
以为原点建立如图所示的坐标系
,设
,则
,
,设平面
的一个法向量为
,
则由得
令
,得
,
所以,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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