题目内容
【题目】平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数，且
）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点P的极坐标为
，Q为曲线上的动点，求
的中点M到曲线的距离的最大值.
【答案】（1）
，
.（2）
【解析】
（1）化简得到
，再考虑
，利用极坐标方程公式得到答案.
（2）P的直角坐标为
，设点
，故
，代入圆方程得到M在圆心为
，半径为1的圆上，计算得到最大距离.
（1）因为
，所以3×①+4×②，得.
又
，
所以
的普通方程为，
将
，
代入曲线
的极坐标方程，得曲线的直角坐标方程为.
（2）由点P的极坐标
，可得点P的直角坐标为.
设点，因为M为
的中点，所以
将Q代入的直角坐标方程得
，
即M在圆心为，半径为1的圆上.
所以点M到曲线距离的最大值为
，
由（1）知不过点
，且
，
即直线
与不垂直.
综上知，M到曲线的距离的最大值为.
【题目】某总公司在A，B两地分别有甲、乙两个下属公司同种新能源产品（这两个公司每天都固定生产50件产品），所生产的产品均在本地销售.产品进人市场之前需要对产品进行性能检测，得分低于80分的定为次品，需要返厂再加工；得分不低于80分的定为正品，可以进人市场.检测员统计了甲、乙两个下属公司100天的生产情况及每件产品盈利亏损情况，数据如表所示：
表1
甲公司 | 得分 | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100] |
件数 | 10 | 10 | 40 | 40 | 50 | |
天数 | 10 | 10 | 10 | 10 | 80 |
表2
甲公司 | 得分 | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100] |
件数 | 10 | 5 | 40 | 45 | 50 | |
天数 | 20 | 10 | 20 | 10 | 70 |
表3
每件正品 | 每件次品 | |
甲公司 | 盈2万元 | 亏3万元 |
乙公司 | 盈3万元 | 亏3.5万元 |
（1）分别求甲、乙两个公司这100天生产的产品的正品率（用百分数表示）.
（2）试问甲、乙两个公司这100天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由.
（3）若以甲公司这100天中每天产品利润总和对应的频率作为概率，从甲公司这100天随机抽取1天，记这天产品利润总和为X，求X的分布列及其数学期望.
