题目内容
【题目】已知函数 .
(1)若在
处导数相等,证明:
;
(2)若对于任意 ,直线
与曲线
都有唯一公共点,求实数
的取值范围.
【答案】(I)见解析(II)
【解析】
(1)由题x>0,,由f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,得到
,得
,
由韦达定理得,由基本不等式得
,得
,由题意得
,令
,则
,令
,,利用导数性质能证明
.
(2)由得
,令
,
利用反证法可证明证明恒成立。
由对任意,
只有一个解,得
为
上的递增函数,
得
,令
,由此可求
的取值范围..
(I)
令,得
,
由韦达定理得
即,得
令,则
,令
,
则,得
(II)由得
令,
则,
,
下面先证明恒成立。
若存在,使得
,
,
,且当自变量
充分大时,
,所以存在
,
,使得
,
,取
,则
与
至少有两个交点,矛盾。
由对任意,
只有一个解,得
为
上的递增函数,
得,令
,则
,
得
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