Question

【题目】如图，三棱柱的底面是等边三角形，在底面ABC上的射影为的重心G.

（1）已知，证明：平面平面；

（2）若三棱柱的侧棱与底面所成角的正切值为，，求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解，（2）.

【解析】

（1）先证明和，然后得出平面即可

（2）由条件算出，，，，，然后利用求解即可.

（1）连结并延长交于

由已知得平面，且

所以，因为，所以平面

所以

因为四边形是平行四边形，且

所以四边形是菱形，所以

因为，所以平面

因为平面，所以平面平面

（2）因为平面，所以侧棱与底面所成的角为

即

因为，所以，

因为在底面ABC上的射影为的重心G，

所以等边三角形的边长

同理，在直角三角形中，

因为在底面ABC上的射影为的重心G，

所以，且

因为，所以平面

所以，因为，所以

所以在直角三角形中，

因为，所以为直角三角形

设点到平面的距离为，由得

，所以可得

即点到平面的距离为