题目内容
1.已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=0,S2=2,且2Sn-nS1=nan.(1)证明:数列{an+2}是递增的等差数列;
(2)设b1=1,bn=$\frac{2}{S_{n}}$(n≥2),求数列{bn}的前n项和Tn.
分析 (1)由a1=S1=0,得nan=2Sn-nS1=2Sn,进一步得(n+1)an+1=2Sn+1,两式作差后可得(n-1)an+1=nan,得到nan+2=(n+1)an+1,说明数列{$\frac{{a}_{n+1}}{n}$}是首项为$\frac{{a}_{2}}{1}=2$的常数数列.由此求得an=2(n-1),得到an+2=2+2(n-1)=2n,问题得证;
(2)由(1)可得an=2n-2,求得${S}_{n}=\frac{n{a}_{n}}{2}=\frac{n(2n-2)}{2}=n(n-1)$,代入bn=$\frac{2}{S_{n}}$,整理后利用裂项相消法求得数列{bn}的前n项和Tn.
解答 (1)证明:∵a1=S1=0,2=S2=a1+a2=a2,
且2Sn-nS1=nan,
∴nan=2Sn-nS1=2Sn,
则(n+1)an+1=2Sn+1,
两式作差得:(n+1)an+1-nan=2an+1,
∴(n-1)an+1=nan,
nan+2=(n+1)an+1,
∴$\frac{{a}_{n+2}}{n+1}=\frac{{a}_{n+1}}{n}$,
∴数列{$\frac{{a}_{n+1}}{n}$}是首项为$\frac{{a}_{2}}{1}=2$的常数数列.
则$\frac{{a}_{n+1}}{n}=2$,an+1=2n,
an=2(n-1).
an+2=2+2(n-1)=2n,
∴数列{an+2}是首项为a1+2=2,公差为2的等差数列.
∵公差为2>0,∴数列{an+2}是递增的等差数列;
(2)∵an+2=2n,∴an=2n-2,
∴${S}_{n}=\frac{n{a}_{n}}{2}=\frac{n(2n-2)}{2}=n(n-1)$,
则bn=$\frac{2}{S_{n}}$=$\frac{2}{n(n-1)}=2(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$(n≥2),
又b1=1,
∴数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+b3+…+bn
=1+2(1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$)=1+2(1-$\frac{1}{n}$)=$\frac{3n-2}{n}$.
点评 本题考查数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了裂项相消法求数列的前n项和,是中档题.
A. | 存在某个位置,使得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0 | |
B. | 存在某个位置,使得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0 | |
C. | 存在某个位置,使得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0 | |
D. | 对任意位置,$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$,$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$均不等于零 |