Question

本小题满分12分）
今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑)．

(Ⅰ)求水箱容积的表达式，并指出函数的定义域；
(Ⅱ)若要使水箱容积不大于立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值．

Answer 1

(1) {x|0＜x＜} (2)

试题分析：解：(Ⅰ)由已知该长方体形水箱高为x米，底面矩形长为(2－2x)米，宽(1－2x)米．
∴该水箱容积为
f(x)＝(2－2x)(1－2x)x＝4x³－6x²＋2x. ………………………4分
其中正数x满足∴0＜x＜.
∴所求函数f(x)定义域为{x|0＜x＜}．………………………6分
(Ⅱ)由f(x)≤4x³，得x ≤ 0或x ≥，
∵定义域为{x|0＜x＜}，∴ ≤ x＜.………………………8分
此时的底面积为S(x)＝(2－2x)(1－2x)＝4x²－6x＋2
(x∈[，))．由S(x)＝4(x－)²－，………………………10分
可知S(x)在[ ，)上是单调减函数，
∴x＝.即满足条件的x是.………………………12分
点评：对于实际运用题，要准确的审清题意，并能抽象出函数关系式，然后结合分段函数的性质来分析定义域和单调性，以及求解最值的问题。注意实际问题中，变量的范围确定，要符合实际意义，属于中档题。