Question

数列满足:,(≥3),记
(≥3).
(1)求证数列为等差数列,并求通项公式;
(2)设,数列{}的前n项和为,求证:<<.

Answer 1

(1) (2)详见解析.

解析试题分析：(1)本题实质由和项求通项：
当n≥3时,因①, 故②，
②-①,得  bn-1-bn-2===1,为常数，所以,数列{bn}为等差数列因  b1==4,故 (2)本题证明实质是求和，而求和关键在于对开方：因 ，
故 .
所以 ,即  n<Sn
又<,于是. 于是
解 (1)方法一 当n≥3时,因①,
故②       2分
②-①,得  bn-1-bn-2===1,为常数,所以,数列{bn}为等差数列  5分
因  b1==4,故        8分
方法二 当n≥3时,a1a2an="1+an+1," a1a2anan+1="1+an+2," 将上两式相除并变形,得  ------2分 于是,当n∈N*时,  
 
.      5分
又a4=a1a2a3-1=7,故bn=n+3(n∈N*).
所以数列{bn}为等差数列,且bn=n+3       8分
(2) 因 ,      10分
故 .     12分
所以 , 
即  n<Sn 。       14分
又<,于是. 于是.     16分
考点：等差数列定义，裂项求和