Question

(本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），
右准线l的方程为：x = 12。
（1）求椭圆的方程；(4分)
（2）在椭圆上任取三个不同点，使，
证明: 为定值，并求此定值。(8分)
 

 

Answer 1

解：（I）设椭圆方程为．
因焦点为，故半焦距．
又右准线的方程为，从而由已知
，
因此，．
故所求椭圆方程为．
（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，
假设，且，．
又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有

 ．
解得 ．
因此
，
而
，
故为定值．

解：（I）设椭圆方程为．
因焦点为，故半焦距．
又右准线的方程为，从而由已知
，
因此，．
故所求椭圆方程为．
（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，
假设，且，．
又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有

 ．
解得 ．
因此
，
而
，
故为定值．