题目内容
【题目】已知数列满足对任意的
都有
,且
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前
项和为
,不等式
对任意的正整数
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:
(1)当n=1,n=2时,直接代入条件且
,可求得;
(2)递推一项,然后做差得,所以
;由于
,即当
时都有
,所以数列
是首项为1,公差为1的等差数列,故求得数列
的通项公式;
(3)由(2)知,则
,利用裂项相消法得
,根据
单调递增得
,要使不等式
对任意正整数n恒成立,只要
,即可求得实数a的取值范围.
试题解析:
(1)解:当时,有
,
由于,所以
.
当时,有
,
将代入上式,由于
,所以
.
(2)解:由于,①
则有.②
②-①,得,
由于,所以
③
同样有,④
③-④,得.
所以.
由于,即当
时都有
,
所以数列是首项为1,公差为1的等差数列.
故.
(3)解:由(2)知,则
,所以
,∴数列
单调递增 .
.
要使不等式对任意正整数n恒成立,只要
.
.
,即
.
所以,实数a的取值范围是.
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