题目内容

3.函数y=cosx-x2在[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$]上的值域是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{{π}^{2}}{16}$,1].

分析 根据余弦函数y=cosx和二次函数y=-x2在$[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]$上的单调性,从而可以得到原函数在$[-\frac{π}{4},0)$上单调递增,在$[0,\frac{π}{4}]$上单调递减,从而得出x=0时原函数取最大值,x=$±\frac{π}{4}$时,原函数取最小值,这便可得出原函数的值域.

解答 解:y=cosx和y=-x2在[$-\frac{π}{4}$,0)上都单递增;
∴原函数在$[-\frac{π}{4},0)$上单调递增;
y=cosx和y=-x2在$[0,\frac{π}{4}]$上都单调递减;
∴原函数在[0,$\frac{π}{4}$]上单调递减;
∴x=0时,原函数取最大值1,x=$-\frac{π}{4}$或$\frac{π}{4}$时,原函数取最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{{π}^{2}}{16}$;
∴原函数的值域为[$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{{π}^{2}}{16}$,1].
故答案为:$[\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{{π}^{2}}{16},1]$.

点评 考查函数值域的概念,余弦函数和二次函数的单调性,f(x)+g(x)的单调性和f(x),g(x)单调性的关系,根据函数的单调性求最值,从而得出函数在闭区间上值域的方法.

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