Question

12．已知x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，函数y=tan²x-tan（π-x）+1的值域是[$\frac{3}{4}$，4+$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 利用换元法，结合正切函数和一元二次函数的单调性进行求解即可．

解答 解：y=tan²x-tan（π-x）+1=tan²x+tanx+1=（tanx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
设t=tanx，
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
∴tan（-$\frac{π}{4}$）≤tanx≤tan$\frac{π}{3}$，
即-1≤tanx≤$\sqrt{3}$，
即-1≤t≤$\sqrt{3}$，
则函数等价为y=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
∵-1≤t≤$\sqrt{3}$，
∴当t=-$\frac{1}{2}$时，函数取得最小值$\frac{3}{4}$，
当t=$\sqrt{3}$时，函数取得最大值4+$\sqrt{3}$，
故函数的值域为[$\frac{3}{4}$，4+$\sqrt{3}$]，
故答案为：[$\frac{3}{4}$，4+$\sqrt{3}$]

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法，结合正切函数和一元二次函数的单调性是解决本题的关键．