Question

13．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球．设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分．
求：（1）得分ξ的概率分布
（2）得分ξ的数学期望和方差．

Answer 1

分析 （1）取出的4只球颜色的分布情况红4得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，分别求出相应的概率，由此能求出得分ξ的概率分布．
（2）由得分ξ的概率分布能求出得分ξ的数学期望和方差．

解答 解：（1）由题意知直接考虑得分的话，情况较复杂，
可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：
∵红4得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，
∴P（ξ=5）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{35}$，
P（ξ=6）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{18}{35}$，
P（ξ=7）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=8）=$\frac{{C}_{4}^{4}{C}_{3}^{0}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	5	6	7	8
X	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

（2）ξ的数学期望Eξ=$5×\frac{4}{35}+6×\frac{18}{35}+7×\frac{12}{35}+8×\frac{1}{35}$=$\frac{44}{7}$．
ξ的数学期望和方差Dξ=（5-$\frac{44}{7}$）²×$\frac{4}{35}$+（6-$\frac{44}{7}$）²×$\frac{18}{35}$+（7-$\frac{44}{7}$）²×$\frac{12}{35}$+（8-$\frac{44}{7}$）²×$\frac{1}{35}$=$\frac{49}{24}$．

点评 解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．