题目内容

棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（　　）
①AA1⊥MN
②异面直线AB1，BC1所成的角为60°
③四面体B1-D1CA的体积为
1
3

④A1C⊥AB1，A1C⊥BC1．
A．1B．2C．3D．4

对于①，分别作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E、F，连结EF
由AM=BN利用正方体的性质，可得四边形MNEF为平行四边形
∴MN∥EF，可得MN∥平面ABCD
∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥MN，因此可得①正确；
对于②，连结B1D1、AD1，可得∠B1AD1就是异面直线AB1，BC1所成的角
∵△B1AD1是等边三角形，∴∠B1AD1=60°
因此异面直线AB1，BC1所成的角为60°，得到②正确；
对于③，四面体B1-D1CA的体积为
V=VABCD-A1B1C1D1-4VB1-ABC=1-4×
1
6
=
1
3
，得到③正确；
对于④，根据A1B1⊥平面BB1C1C，得到A1B1⊥BC1，
由正方形BB1C1C中证出B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1C，
结合A1C?平面A1B1C，得A1C⊥BC1，同理可证出A1C⊥AB1，从而得到④正确
综上所述，四个命题都是真命题
故选：D
练习册系列答案
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在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=
1
2
AD，PA=PD，E，F为AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：AD⊥PB．
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2
3
，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=
π
3
．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P-BDF的体积．
如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=3MB，线段CE上是否存在一点N，使得MN∥平面DAE？若存在，求出CN的长；若不存在，说明理由．
已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比．
如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1⊥AC1．
（1）求证：AC1⊥平面A1BC；
（2）求多面体B1C1ABC的体积．
如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求证：AC⊥平面B1D1DB；
（2）求证：BD1⊥平面ACB1
（3）求三棱锥B-ACB1体积．
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，侧面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，点G为AD的中点．
（1）求证：BG⊥面PAD；
（2）E是BC的中点，在PC上求一点F，使得PG∥面DEF．
已知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，设D为AA1的中点．
（Ⅰ）作出该几何体的直观图并求其体积；
（Ⅱ）求证：平面BB1C1C⊥平面BDC1；
（Ⅲ）BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论．

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