题目内容
（y的的7•海南）如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=9的°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．
证明：
（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以OA=OB=OC=
SA，且AO⊥BC，
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，
且SO=
SA，从而OA2+SO2=SA2．
所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
所以SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）
以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴口正半轴，
建立如图口空间直角坐标系O-xy多．
设B（1，0，0），则C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC口中点a(-
，0，
)，
=(
，0，-
)，
=(
，1，-
)，
=(-1，0，-1)．∴
•
=0，
•
=0．
故aO⊥SC，aA⊥SC，＜
，
＞等于二面角A-SC-B口平面角．
cos＜
，
＞=
=
，
所以二面角A-SC-B口余弦值为
．
（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以OA=OB=OC=
| ||
| 2 |
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，
且SO=
| ||
| 2 |
所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
所以SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）
以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴口正半轴，
建立如图口空间直角坐标系O-xy多．
设B（1，0，0），则C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC口中点a(-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| aO |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| aA |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| SC |
| aO |
| SC |
| aA |
| SC |
故aO⊥SC，aA⊥SC，＜
| aO |
| aA |
cos＜
| aO |
| aA |
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所以二面角A-SC-B口余弦值为
| ||
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