Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin²$\frac{B}{2}$+bsin²$\frac{A}{2}$=$\frac{c}{2}$．
（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若a-b=4，△ABC三个内角的最大角为120°，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式及余弦定理化简已知等式可得a+b=2c，即可得证；
（2）由a-b=4，a+b=2c，可得a＞c＞b，利用余弦定理即可解得a，b，c的值，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）证明：asin²$\frac{B}{2}$+bsin²$\frac{A}{2}$=a（$\frac{1-cosB}{2}$）+b（$\frac{1-cosA}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（a+b-acosB-bcosA）
=$\frac{1}{2}$（a+b-c）=$\frac{c}{2}$，（3分）
即a+b=2c，
∴a，c，b成等差数列；（4分）
（2）∵a-b=4，a+b=2c，
∴a＞c＞b，
∴∠A=120°．（5分）
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，（6分）
可得a=7，c=5，b=3．（7分）
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{15\sqrt{3}}{4}$．（8分）

点评 本题主要考查了余弦定理，二倍角公式，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．