Question

10．设函数f（x）=x-$\frac{4}{x}$-alnx+1（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求f（x）的极值；
（2）当a≤4时，若不等式f（x）≥2在区间[1，4]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由题意得到f′（1）=0，求得a值，代入f（x）后利用导数求得极值点，进一步求得极值；
（2）把不等式f（x）≥2在区间[1，4]上有解转化为f（x）在[1，4]上的最大值M≥2，把原函数求导后对a分类求得函数的最大值，再由最大值M≥2求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x-$\frac{4}{x}$-alnx+1，∴${f}^{′}（x）=1+\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{a}{x}$，
由题意，切线斜率k=f′（1）=1+4-a=0，∴a=5．
∴f（x）=x-$\frac{4}{x}-5lnx+1$，${f}^{′}（x）=1+\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{5}{x}=\frac{{x}^{2}-5x+4}{{x}^{2}}（x＞0）$．
由f′（x）=0，得x=1或x=4．

x	（0，1）	1	（1，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

∴f（x）的极小值为f（4）=4-1-5ln4+1=4-10ln2，
f（x）的极大值为f（1）=1-4-0+1=-2．
（2）由题意，当a≤4时，f（x）在[1，4]上的最大值M≥2．
${f}^{′}（x）=\frac{{x}^{2}-ax+4}{{x}^{2}}（1≤x≤4）$．
（i）当-4≤a≤4时，${f}^{′}（x）=\frac{（x-\frac{a}{2}）^{2}+4-\frac{{a}^{2}}{4}}{{x}^{2}}≥0$，
故f（x）在[1，4]上单调递增，M=f（4），
（ii）当a＜-4时，设x²-ax+4=0（△=a²-16＞0）的两根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=a＜0，x₁x₂=4，故x₁，x₂＜0．
∴在[1，4]上${f}^{′}（x）=\frac{{x}^{2}-ax+4}{{x}^{2}}＞0$．
故f（x）在[1，4]上单调递增，M=f（4）．
综上所述，当a≤4时，f（x）在[1，4]上的最大值M=f（4）=4-1-aln4+1≥2．
解得：$a≤\frac{1}{ln2}$．
∴a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{ln2}$]．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，把不等式f（x）≥2在区间[1，4]上有解转化为f（x）在[1，4]上的最大值M≥2是解答该题的关键，是压轴题．