Question

8．（实验班做） 已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，-sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx-2$\sqrt{3}$cosx），x∈R，设f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的运算，先求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，根据二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式即可得出f（x）=2sin（$2x+\frac{π}{6}$）．这便可得出f（x）的最小正周期，而令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$即可得出f（x）的对称轴方程；
（2）由x的范围，便可得出$2x+\frac{π}{6}$的范围，然后根据正弦函数的图象便可得出f（x）在区间$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$上的值域．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=co{s}^{2}x-si{n}^{2}x+2\sqrt{3}sinx•cosx$=$cos2x+\sqrt{3}sin2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$；
∴f（x）=2sin（$2x+\frac{π}{6}$）；
∴T=π；
令2x$+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，则x=$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$；
∴f（x）的最小正周期为π，图象的对称轴方程为x=$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z；
（2）x∈[$-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}$]；
∴$（2x+\frac{π}{6}）∈[0，\frac{7π}{6}]$；
∴$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时，f（x）取最大值2，$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$时，f（x）取最小值-1；
∴f（x）在[$-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}$]上的值域为[-1，2]．

点评 考查数量积的坐标运算，而边角的正余弦公式，以及两角和的正弦公式，求函数y=Asin（ωx+φ）的周期的计算公式，清楚正弦函数的对称轴，熟悉正弦函数的图象．