Question

6．已知抛物线y²=4x上两个动点B、C和点A（1，2），且∠BAC=90°，则动直线BC必过定点（　　）

• A． （2，5）
• B． （-2，5）
• C． （5，-2）
• D． （5，2）

Answer 1

分析 设出抛物线上的点B，C，由∠BAC=90°借助于向量数量积等于0得到a，b的关系，由两点式求出BC所在直线的斜率，写出BC的点斜式方程，与a，b的关系式结合后由直线系方程得答案．

解答 证明：设B（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），C（$\frac{{b}^{2}}{4}$，b），而A（1，2），
∴∠BAC=90°，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，
由于∠BAC=90°，得（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，a-2）•（$\frac{{b}^{2}}{4}$-1，b-2）=0．
整理得ab+2a+2b+20=0．
而过BC的直线的斜率为：$\frac{a-b}{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{a+b}$．
∴过BC的直线方程为y-b=$\frac{4}{a+b}$（x-$\frac{{b}^{2}}{4}$），
整理得4x+ab-（a+b）y=0，即4x-（a+b）y-2a-2b-20=0．
化为4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，-2）．
∴直线必过定点（5，-2）．
故选：C．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线系方程的运用，是中档题．