Question

【题目】等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P﹣AE﹣C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．
（1）证明：点H为EB的中点；
（2）若 ，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：依题意，AE⊥BC，则AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．

∴AE⊥面EPB．

故∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上．

由∠CEP=120°得∠PEB=60°．

∴EH= EP= ．

∴H为EB的中点．

（2）解：过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，

则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，

∴HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB．

∴∠HBN为直线BE与面ABP所成的角．

依题意，BE= BC=2，BH= BE=1．

在△HMB中，HM= ，

在△EPB中，PH= ，

∴在Rt△PHM中，HN= ．

∴sin∠HBN= ．

【解析】（1）证明：∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上，即可证明点H为EB的中点；（2）过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB，∠HBN为直线BE与面ABP所成的角，即可求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．
【考点精析】利用空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．