题目内容
【题目】设Sn , Tn分别是数列{an},{bn}的前n项和,已知对于任意n∈N* , 都有3an=2Sn+3,数列{bn}是等差数列,且T5=25,b10=19. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn= ,求数列{cn}的前n项和Rn , 并求Rn的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)由3an=2Sn+3,当n=1时,3a1=2a1+3,解得a1=3; 当n≥2时,3an﹣1=2Sn﹣1+3,
从而3an﹣3an﹣1=2an , 即an=3an﹣1 , ∴数列{an}是等比数列,公比为3,
因此an=3n .
设数列{bn}的公差为d,∵T5=25,b10=19.
∴ ,解得b1=1,d=2,
因此bn=2n﹣1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:cn= = = = ﹣ ,
数列{cn}的前n项和Rn= + +…+
= ﹣3.
因为cn>0,所以数列{Rn}单调递增.
所以n=1时,Rn取最小值时,故最小值为
【解析】(I)利用数列递推关系与等比数列的通项公式可得an . 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出bn . (II)利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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