题目内容
如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
，直线
与线段
、
分别交于点
、
.
（1）当
时，求以
为焦点，且过
中点的椭圆的标准方程；
（2）过点作直线
交
于点
，记
的外接圆为圆
.
①求证:圆心在定直线
上；
②圆是否恒过异于点
的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.
中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.（1）当
时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；（2）过点
作直线交于点，记的外接圆为圆.①求证:圆心
在定直线上；②圆
是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由. (1)
(2)①略②
.
(2)①略②.试题分析：(1)根据题意，
，
，求出
，可得到方程；(2)①解法一：根据题意写出
的坐标，线段
的中垂线的交点就是圆心，将圆心坐标代入中，可得证；解法二：设出一般方程，将三点的坐标代入，联立求解；②根据①，写出圆系方程
，联立方程
解得该定点.试题解析：(1)设椭圆的方程为
,当
时, 的中点为
，则 1分 而
,所以
， 2分故椭圆的标准方程为
3分(Ⅱ)①解法一:易得直线
，直线
可得
,再由,得
5分则线段
的中垂线方程为
, 6分线段
的中垂线方程为
, 7分由
, 8分解得
的外接圆的圆心坐标为
9分经验证,该圆心在定直线
上 10分②由①可得圆C的方程为
11分该方程可整理为
,则由
,解得
或
, 13分所以圆
恒过异于点的一个定点,该点坐标为 14分解法二: 易得直线
，直线 5分所以可得
, 6分再由
,得 7分设
的外接圆的方程为
,则
, 8分解得圆心坐标为
, 9分经验证,该圆心在定直线
上 10分②由①可得圆C的方程为
11分该方程可整理为
,则由
,解得或, 13分所以圆
恒过异于点的一个定点,该点坐标为 14分
练习册系列答案
相关题目
（
）右顶点与右焦点的距离为
，短轴长为
.
的直线与椭圆分别交于
、
两点，若三角形
的面积为
，求直线
的方程．
(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆
上.
的左、右焦点分别为
，离心率为
，点A是椭圆上任一点，
的周长为
.
任作一动直线l交椭圆C于
两点，记
，若在线段
上取一点R，使得
，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程.
的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程为（ ）
的右焦点与抛物线
的焦点重合，则
的值为 （ ）
是2和8的等比中项，则圆锥曲线
的离心率是（ ）
的左顶点
作直线
交
轴于点
，交椭圆于点
，若
是等腰三角形，且
，则椭圆的离心率为 .
分别是椭圆：
的左、右焦点，过
倾斜角为
的直线
与该椭圆相交于P，
两点，且
.
满足
，求该椭圆的方程.