Question

设a为实数，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x）
此时，f（x）为偶函数
当a≠0时，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a）
此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数
（2）①当x≤a时，f(x)=x2-x+a+1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

当a≤

1

2

，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1．
若a＞

1

2

，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f(

1

2

)=

3

4

+a，且f(

1

2

)≤f(a)．
②当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

若a≤-

1

2

，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f(-

1

2

)=

3

4

-a，且f(-

1

2

)≤f(a)
若a＞-

1

2

，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a²+1．
综上，当a≤-

1

2

时，函数f（x）的最小值为

3

4

-a
当-

1

2

＜a≤

1

2

时，函数f（x）的最小值为a²+1
当a＞

1

2

时，函数f（x）的最小值为

3

4

+a．