Question

【题目】甲、乙两品牌计划入驻某商场，该商场批准两个品牌先进场试销天。两品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出件以内（含件）的产品，每件产品返利元，超出件的部分每件返利元；乙品牌每天固定返利元，且每卖出一件产品再返利元。经统计，两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下：

（Ⅰ）现从乙品牌试销的天中随机抽取天，求这天的销售量中至少有一天低于的概率.

（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：

①记甲品牌的日返利额为（单位：元），求的分布列和数学期望；

②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①详见解析②商场应选择乙品牌长期销售，详见解析

【解析】

（I）直接法：分别计算有天低于和有天低于的件的概率，然后相加，求得所求概率.间接法：用减去抽取的天都不低于件的概率，求得所求至少有一天低于的概率.（II）①先计算出甲品牌的日返利额的所有可能取值，由此求得的分布列并求得数学期望.②计算出乙品牌日返利额的分布列和数学期望，结合①中的数学期望，可知商场应选择乙品牌长期销售.

（Ⅰ）设为从乙品牌试销售的天中抽取天，这天的销售量中至少有一天低于件的事件，则.

另法：设为从乙品牌试销售的天中抽取天，这天的销售量中至少有一天低于件的事件，则为从乙品牌试销售的天中抽取天，这天的销售量都不低于件的事件，则.

（Ⅱ）①设甲品牌的日销售量为随机变量，则甲品牌的日返利额（单位：元）与的关系为：

.当时，；当时，；当时，；当时，；

故的分布列为

（元）

②设乙品牌的日销售量为随机变量，乙品牌的日返利额（单位：元）与的关系为：

，且的分布列为

则（件）

则（元）

因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额，所以如果仅从日返利额的角度考虑，商场应选择乙品牌长期销售.

②另法：乙品牌的日返利额（单位：元）的取值集合为，分布列为

则（元）