题目内容
【题目】如图，在直四棱柱
中，底面
是矩形，
与
交于点
，
.
（1）证明：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析.(2) 
.
【解析】
（1）根据线面垂直的判定定理，先证明
平面
，得到
，进而可证明结论成立；
（2）以
为坐标原点建立空间直角坐标系
，求出直线
的方向向量、平面
的一个法向量，求两向量夹角的余弦值，即可得出结果.
（1）证明：因为四棱柱
是直四棱柱，所以
平面
，则
.
又
，
，
所以平面，所以.
因为
，
，所以是正方形，所以
.
又
，所以
平面
.
（2）因为四棱柱是直四棱柱，底面是矩形，所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
,
，
, 
,
设平面的法向量为
由
，
，可得
，
令
，则
，
设直线与平面所成的角为
，
则
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【题目】在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为
的样本，其中城镇居民
人，农村居民
人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民
人，农村居民
人.
（Ⅰ）填写下面列联表，并判断是否有
的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？
城镇居民 | 农村居民 | 合计 | |
经常阅读 |
|
| |
不经常阅读 | |||
合计 |
|
（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取
位居民参加一次阅读交流活动，记这位居民中经常阅读的人数为
，若用样本的频率作为概率，求随机变量的分布列和期望.
附：
，其中
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【题目】某公司生产某种产品，一条流水线年产量为
件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：
第一段生产的半成品质量指标 |
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第二段生产的成品为一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生产的成品为二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生产的成品为三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
从第一道生产工序抽样调查了
件，得到频率分布直方图如图：
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、
元、
元.
（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；
（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是
万元，使用寿命是
年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布
，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.
（参考数据：
，
，
）
