Question

【题目】在正四棱柱中，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

建立如图所示空间直角坐标系，（1）求出平面的法向量，利用证明即可；

（2）利用即可证明；（3）设点的坐标为(1，1，)，由线面角公式可求出，即可利用向量的模求的长.

如图建立空间直角坐标系，

(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1)

（1）证明：设平面的法向量(，，)，

(1，1，0)，(0，1，1)

由，即，

取，得(1，-1，1)，

又(-1，1，2)，

因为，所以，

所以平面.

（2）证明：由（1）可知(1，-1，1)，

(-1，1，-1)，，所以，

所以平面.

（3）设点的坐标为(1，1，)，

(0，1，)，

设直线与平面所成角为，则

，

解得，

所以点的坐标为(1，1，1)，(1，1，1)，，

所以的长为.