Question

【题目】已知是椭圆：上一点，以点及椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形面积为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过作斜率存在且互相垂直的直线，，是与两交点的中点，是与两交点的中点，求△面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）通过已知建立方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线：，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出,令，，则再利用导数求函数的最大值得解.

解：（Ⅰ）由点在椭圆上可得，

整理得①．

，解得，

所以，代入①式整理得，

解得，．

所以椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以设直线：，

联立直线与椭圆的方程，整理得．

所以直线与椭圆两交点的中点的纵坐标，

同理直线与椭圆两交点的中点的纵坐标，

所以

，

将上式分子分母同除可得，

，

不妨设，令，，则，

令，，因为，所以，

所以在单调递增，

所以当时，三角形△面积取得最大值．