题目内容
【题目】如图所示,平面CDEF⊥平面ABCD,且四边形ABCD为平行四边形,∠DAB=45°,四边形CDEF为直角梯形,EF∥DC,ED⊥CD,AB=3EF=3,ED=a,AD.
(1)求证:AD⊥BF;
(2)若线段CF上存在一点M,满足AE∥平面BDM,求的值;
(3)若a=1,求二面角D﹣BC﹣F的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)(3)
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,求出直线AD及直线BF的方向向量,利用两向量的数量积为0,即可得证;
(2)设,根据题设数据,求出平面BDN的一个法向量,以及直线AE的方向向量,利用AE∥平面BDM,建立关于λ的方程,解出即可;
(3)求出平面BCF及平面BCD的法向量,利用向量的夹角公式即可得解.
解:(1)∵平面CDEF⊥平面ABCD,ED⊥CD,
∴ED⊥平面ABCD,
如图,以D为原点,DC所在直线为y轴,过点D垂直于DC的直线为x轴,建立空间直角坐标系,
∵∠DAB=45°,AB=3EF=3,,
∴A(1,﹣1,0),B(1,2,0),C(0,3,0),E(0,0,a),F(0,1,a),
∴,
∴,
∴AD⊥EF;
(2)设,则,
设平面BDM的法向量为,则,
取x1=2,则,
若AE∥平面BDM,则,即,解得,
∴线段CF上存在一点M,满足AE∥平面BDM,此时;
(3)设平面BCF的法向量为,则,
取x2=1,则,
又平面BCD的一个法向量为,
∴,
由图可知,二面角D﹣BC﹣F为锐角,故二面角D﹣BC﹣F的余弦值为.
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