题目内容

【题目】如图所示,平面CDEF⊥平面ABCD,且四边形ABCD为平行四边形,∠DAB45°,四边形CDEF为直角梯形,EFDCEDCDAB3EF3EDaAD.

1)求证:ADBF

2)若线段CF上存在一点M,满足AE∥平面BDM,求的值;

3)若a1,求二面角DBCF的余弦值.

【答案】1)证明见解析;(23

【解析】

1)建立空间直角坐标系,求出直线AD及直线BF的方向向量,利用两向量的数量积为0,即可得证;

2)设,根据题设数据,求出平面BDN的一个法向量,以及直线AE的方向向量,利用AE∥平面BDM,建立关于λ的方程,解出即可;

3)求出平面BCF及平面BCD的法向量,利用向量的夹角公式即可得解.

解:(1)∵平面CDEF⊥平面ABCDEDCD

ED⊥平面ABCD

如图,以D为原点,DC所在直线为y轴,过点D垂直于DC的直线为x轴,建立空间直角坐标系,

∵∠DAB45°,AB3EF3

A1,﹣10),B120),C030),E00a),F01a),

ADEF

2)设,则

设平面BDM的法向量为,则

x12,则

AE∥平面BDM,则,即,解得

∴线段CF上存在一点M,满足AE∥平面BDM,此时

3)设平面BCF的法向量为,则

x21,则

又平面BCD的一个法向量为

由图可知,二面角DBCF为锐角,故二面角DBCF的余弦值为.

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