题目内容
【题目】足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动,某学校成立了足球社团由于报名人数较多,需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取,规则如下:
(1)下表是某同学6次的训练数据,以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团,该同学进行了“点球测试”,每次点球是否踢进相互独立,将他在测试中所踢的点球次数记为,求
;
(2)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练,从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人,接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,接到第n次传球的人即为第次触球者
,第n次触球者是甲的概率记为
.
(i)求,
,
(直接写出结果即可);
(ii)证明:数列为等比数列.
【答案】(1)(2)(i)
,
,
(ii)证明见解析;
【解析】
(1)先求出踢一次点球命中的概率,然后根据相互独立事件的乘法公式分别求出取1,2,3的概率,再根据离散型随机变量的期望公式可求得结果;
(2)(i)根据传球顺序分析可得答案;(ii)根据题意可得,再变形为
,根据等比数列的定义可证结论.
(1)这150个点球中的进球频率为,
则该同学踢一次点球命中的概率,
由题意,可能取1,2,3,则
,
,
,
则的期望
.
(2)(i)因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人,所以第1次触球者是甲的概率,显然第2次触球者是甲的概率
,第2次传球有两种可能,所以第3次触球者是甲的概率概
,
(ii)∵第n次触球者是甲的概率为,
所以当时,第
次触球者是甲的概率为
,第
次触球者不是甲的概率为
,
则.
从而,又
,
∴是以
为首项,公比为
的等比数列.
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