题目内容
【题目】已知R,命题
:对任意
,不等式
恒成立;命题
:存在
,使得
成立.
(1)若为真命题,求
的取值范围;
(2)若且
为假,
或
为真,求
的取值范围;
【答案】(1)[1,2] (2)(-∞,1)∪(1,2]
【解析】试题分析:(1)由对任意,不等式
恒成立,知
,由此能求出
的取值范围;(2)存在
,使得
成立,推导出命题
满足
,由
且
为假,
和
为真,知
、
一真一假,分两种情况讨论,对于
真
假以及
假
真分别列不等式组,分别解不等式组,然后求并集即可求得实数
的取值范围.
试题解析:(1)∵对任意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,
∴(2x-2)min≥m2-3m.即m2-3m≤-2.解得1≤m≤2.
因此,若p为真命题时,m的取值范围是[1,2].
(2)存在x∈[-1,1],使得m≤x成立,∴m≤1,
命题q为真时,m≤1.∵p且q为假,p或q为真,
∴p,q中一个是真命题,一个是假命题.
当p真q假时,则解得1<m≤2;
当p假q真时, 即m<1.
综上所述,m的取值范围为(-∞,1)∪(1,2].

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