题目内容
【题目】已知椭圆的焦距为
,左、右顶点分别为
、
,
是椭圆上一点, 记直线
、
的斜率为
、
,且有
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆
交于
、
两点, 以
、
为直径的圆经过原点, 且线段
的垂直平分线在
轴上的截距为
,求直线
的方程.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)由题意可得,设
,代入椭圆方程,运用直线的斜率公式,化简整理,计算可得
,
,进而得到椭圆方程;
(2)将直线:
代入椭圆
,设
,运用韦达定理和中点坐标公式,以及两直线垂直的条件:斜率之积为
,化简整理,解方程可得
,
,进而得到所求直线的方程.
试题解析:(1)依题意,, 设
,则有
,即
,
,又
,
即椭圆的方程为
.
(2)设的中点为
,联立
得到
,
①
②
因为以为直径的圆经过顶点,
,
,化简得
③
将②式代入得到代入①式得,
.
由于线段的垂直平分线经过点
,
,将②代入得到
④ 联立③④得
或
,
,
直线
的方程为
.
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