题目内容
【题目】已知斜率为1的直线与椭圆
交于
,
两点,且线段
的中点为
,椭圆
的上顶点为
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,若直线
与
的斜率之和为2,证明:
过定点.
【答案】(1)(2)见证明
【解析】
(1)设点P,Q的坐标,代入椭圆C的方程,利用点差法及中点坐标公式可得a,b的关系,可得e;
(2)联立直线方程与椭圆方程,利用根与系数的关系可得M,N的横坐标的和与积,由直线AM与AN的斜率之和为2可得m与k的关系,再由直线系方程得答案.
(1)设点,
,由于点
为线段
的中点
所以,
又两式作差
,
所以,即
;
(2)由(1)结合上顶点,椭圆的方程为
,
设点,
联立得
,则韦达定理得,
据题意可得
代入韦达定理得
,化简得
,
所以直线为
,过定点
,
综上,直线过定点
.
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