题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,侧面
是等边三角形,且平面
平面
,
为
的中点,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)直线上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)(Ⅲ)存在点
,
.
【解析】
(Ⅰ)取中点
,结合三角形中位线和长度关系,可证得
且
,得到四边形
为平行四边形,进而得到
,根据线面平行判定定理可证得结论;
(Ⅱ)取中点
,由面面垂直性质可知
平面
,由此可建立空间直角坐标系;分别求得两面的法向量,求得法向量夹角的余弦值;根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值;
(Ⅲ)设,利用空间向量表示出
,由线面平行可知
与平面的法向量垂直,即
,构造方程求得
,从而得到结论.
(Ⅰ)取中点
,连结
为
中点,
,
又,
且
四边形
为平行四边形
平面
,
平面
平面
(Ⅱ)取中点
,连结
,
为等边三角形
平面
平面
,平面
平面
平面
,
四边形
为平行四边形
如图建立空间直角坐标系,
则
,
设平面的一个法向量为
则,即
,令
,则
,
显然,平面的一个法向量为
,
所以.
二面角
为锐角
二面角
的余弦值为
(Ⅲ)直线上存在点
,使得
平面
.理由如下:
设
,
,
平面
平面
时,
即,解得:
直线
上存在点
,使得
平面
,此时
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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,求
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