题目内容
【题目】在中,
,
,
,
是
的中点,
是线段
上一个动点,且
,如图所示,沿
将
翻折至
,使得平面
平面
.
(1)当时,证明:
平面
;
(2)是否存在,使得三棱锥
的体积是
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2) 存在,使得三棱锥
的体积是
.
【解析】试题分析:
(1)由题意可得当时,
是
的中点,而
是
的中点,由几何关系有
.利用面面垂直的性质定理,结合平面
平面
,平面
平面
,可得
平面
.
(2)连接,结合(1) 结论可得
平面
,即
是三棱锥
的高,且
.而
,计算可得
.
假设存在满足题意的,则三棱锥
的体积为
.解得
,则
,即存在
满足题意.
试题解析:
(1)在中,
,
即,则
,
取的中点
,连接
交
于
,
当时,
是
的中点,而
是
的中点,
∴是
的中位线,∴
.
在中,
是
的中点,
∴是
的中点.
在中,
,
∴,则
.
又平面平面
,平面
平面
,
∴平面
.
(2)连接,由(1)知
,
∴,
而平面平面
,平面
平面
.
∴平面
,
即是三棱锥
的高,且
.
过作
于点
.
则,
即,
可得.
假设存在满足题意的,则三棱锥
的体积为
.
解得,
∴,
故存在,使得三棱锥
的体积是
.
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