Question

已知函数，函数.
（1）当时，求函数f(x)的最小值；
（2）设函数h(x)=(1－x)f(x)+16，试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数.

Answer 1

(1) x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0.
（2）当或时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交点；
当时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有2个交点；
当时，h(x)的图象与g(x(的图象恰有3个交点.

(1) 方法一： ∵ x>1 , ，
当且仅当x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0；
方法二：∵ x>1，
当且仅当即x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0.
方法三：求导（略） ……………………………………4分
（2）由于h(x)=(1－x)f(x)+16=
设 F(x)=g(x)－h(x)=   (且)，则
，……………………………6分
令得x=3或x=1（舍）又∵， ，，F（3）＝6ln3－15+m
根据导数的符号及函数的单调情况、取极值的情况作出的草图如下：………………11分
由此可得：
当或时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交点；
当时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有2个交点；
当时，h(x)的图象与g(x(的图象恰有3个交点.