题目内容
【题目】如图所示,三棱锥P﹣ABC中,D是AC的中点,,
,
.
(1)求证:PD⊥平面ABC;
(2)求二面角P﹣AB﹣C的正切值大小.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
(1)连接,推导出
,由此能证明
平面
.(2)取
的中点
,连接
,则
,由
,得
,由
平面
,得
,由
,得
平面
,从而
,进而
是二面角
的平面角,解三角形求得二面角
的正切值.
(1)连接BD,∵D是AC的中点,,∴
.
∵,
,
,∴
.
∴,即AB⊥BC.
∴.
∵,
,
∴.∴PD⊥BD.
∵AC∩BD=D,∴PD⊥平面ABC.
(2)取AB的中点E,连接DE、PE,
由E为AB的中点,知DE∥BC,
∵AB⊥BC,∴AB⊥DE.∵PD⊥平面ABC,∴PD⊥AB.
又AB⊥DE,,
∴AB⊥平面PDE,∴PE⊥AB.
∴是二面角P﹣AB﹣C的平面角.
在△PED中,,
,
,
∴
.
∴二面角P﹣AB﹣C的正切值为.
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