题目内容
【题目】某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段.已知实验的启动资金为10万元，从实验的第一天起连续实验，第
天的实验需投入实验费用为
元
，实验30天共投入实验费用17700元.
（1）求
的值及平均每天耗资最少时实验的天数；
（2）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验
天共赞助
元
.为了保证产品质量，至少需进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求
的取值范围.（实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费）
【答案】（1）
，
；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）实验开始后，每天的试验费用构成公差为
，首项为
的等差数列，通过等差数列的求和公式计算出这
天所投入的试验费用，然后便可求出
的值，再利用等差数列的求和公式求出
天内总计的试验费用，然后再求出每天的平均试验费用，利用基本不等式便可求出平均每天耗资最少时试验的天数；（2）先求出实际耗资的连续函数，
，讨论
和
的大小关系即可解得
的取值范围为．
试题解析：（1）依题意得，试验开始后，每天的试验费用构成等差数列，公差为
，首项为
，
∴试验30天共花费试验费用为
，
解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
设试验
天，平均每天耗资为
元，则
．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
，
当且仅当
，即
时取等号，
综上得，
，试验天数为100天．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）设平均每天实际耗资为
元，则
．．．．．．．．．．．8分
当
，即
时，
，因为
，
所以，
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
当
，即
时，当
时，
取最小值，
且
，
综上得，的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
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