题目内容
【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).
【答案】
(1)解:由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;当20<x≤200时,设v(x)=ax+b
再由已知得 ,解得
故函数v(x)的表达式为
(2)解:依题并由(1)可得
当0≤x<20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时,
当且仅当x=200﹣x,即x=100时,等号成立.
所以,当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 .
综上所述,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值为 ,
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为3333辆/小时.
【解析】(1)根据题意,函数v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数v(x)在20≤x≤200时的表达式,根据一次函数表达式的形式,用待定系数法可求得;(2)先在区间(0,20]上,函数f(x)为增函数,得最大值为f(20)=1200,然后在区间[20,200]上用基本不等式求出函数f(x)的最大值,用基本不等式取等号的条件求出相应的x值,两个区间内较大的最大值即为函数在区间(0,200]上的最大值.
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【题目】从某山区养殖场散养的3500头猪中随机抽取5头,测量猪的体长x(cm)和体重y(kg),得如下测量数据:
猪编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x | 169 | 181 | 166 | 185 | 180 |
y | 95 | 100 | 97 | 103 | 101 |
(1)当且仅当x,y满足:x≥180且y≥100时,该猪为优等品,用上述样本数据估计山区养殖场散养的3500头猪中优等品的数量;
(2)从抽取的上述5头猪中,随机抽取2头中优等品数x的分布列及其数学期望.