题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论在
上的零点个数;
(2)当时,若存在
,使
,求实数
的取值范围.(
为自然对数的底数,其值为2.71828……)
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)构造函数,先将讨论
在
上的零点个数问题,转化为讨论直线
与曲线
的交点个数问题,用导数方法研究函数
单调性,求出值域,即可得出结果;
(2)根据(1)的结果,由求出零点,得到
,再由题意得到
成立,构造函数
,用导数方法研究其单调性,进而可求出结果.
(1)由得
,令
,
因此讨论在
上的零点个数,即是讨论直线
与曲线
的交点个数,
∵,
在
上恒成立,
故在
上单调递增,
,
又连续不断,所以当
时,
在
上无零点;
当时,
在
上存在一个零点.
(2)当时,由(1)得
在
上存在一个零点,
由得
,
由(1)可得在
上单调递减,在
上单调递增;
所以,
又存在,使
成立,
所以,只需成立,即
不等式成立,
令,
则,
易知在
上恒成立,
故在
上单调递增
又,所以
.
故实数的取值范围为
.
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【题目】某商场为改进服务质量,在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查.调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下:
满意 | 不满意 | |
男 | ||
女 |
是否有
的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?
若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了
人发放价值
元的购物券.若在获得了
元购物券的
人中随机抽取
人赠其纪念品,求获得纪念品的
人中仅有
人是女顾客的概率.
附表及公式:.
【题目】随着科技的发展,网购已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式,为了了解网购在某市的普及情况,某调查机构进行了有关网购的调查,并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各100人进行分析,得到如下所示的统计表.
经常网购 | 偶尔网购或不网购 | 合计 | |
男性 | 50 | 100 | |
女性 | 70 | 100 | |
合计 |
附:,其中
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | ||
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(1)完成上表,并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该市市民的网购情况与性别无关.
(2)①现从所抽取的100位女性市民中利用分层抽样的方法抽取10人,再从这10人中随机选取3人赠送优惠券,求选取的3人中至少有2人经常网购的概率;
②将频率视为概率,从该市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常网购的人数为X,求随机变量X的数学期望和方差.